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09 ago 2022
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Salvator Mundi por Leonardo da Vinci, Año 1500, Óleo sobre nogal. Louvre Abu Dhabi Si me preocupara más, Teodoro, por lo que ocurre en Cirene, Te preguntaría por sus asuntos y por la gente de allí, a ver si hay jóvenes que se dediquen a la geometría o a otros estudios filosóficos. Pero, en este momento, tengo menos amistad con ellos que con los de aquí, y me interesa más saber cuáles de nuestros jóvenes pueden llegar a convertirse en hombres de bien. (Teeteto 143d).*1 Teodoro de Cirene fue alumno de Protágoras, amigo de Sócrates y maestro de Platón y Teeteto en matemáticas. En el texto citado se manifiesta que la geometría es un estudio filosófico, y que esta clase de estudio propicia la excelencia y hace al hombre bueno, ya en su intelecto, ya como ciudadano. El porqué lo revisaremos más adelante, por ahora nos encargaremos del cómo. Para ello no está de más recordar aquí que una regla griega no tiene marcas, es decir, no existía una medida convencional como el metro, el centímetro o el milímetro para medir las cosas, era solo una pieza rígida y liza para trazar líneas, carecía de graduaciones y escalas, se asemejaba más a un instrumento de dibujo que a uno de medición. ¿Qué significa medir entonces para un griego? La medida para un griego viene determina por la relación que una cosa, cuerpo, figura, forma o magnitud guarda con sus semejantes o consigo misma. De este modo las líneas no tienen un valor propio, sino que son más pequeñas o más grandes respecto a otras de la misma naturaleza. Así, una línea puede ser la mitad de otra que mide el doble que esta, puede ser un tercio de aquella, o puede ser un cuarto menor de una entera. Las líneas griegas, entonces, se miden por ellas mismas. De este modo un cuadrado solo, puro y sin comparación, es aquella figura de cuatro lados siempre que estos guarden la misma unidad entre ellos, que midan lo mismo, así, cada lado tendrá el valor 1 según esta medida, por ello un perímetro de un cuadrado siempre será igual a 4 para un antiguo griego de aquella época. Para ellos (los griegos) como para nosotros, la conmensurabilidad como propiedad de medir es contraria a la inconmensurabilidad, lo que no se puede medir. Decimos, por tanto, que si algo se puede medir es racional, puesto que la razón lo abarca y comprende, por el contrario, decimos que es irracional lo que no cabe en la razón ni le comprende, ni se puede medir. En consecuencia, lo que no se puede medir es inconmensurable e irracional y esta solución nos permite introducir una idea trascendental. Lo trascendente, que significa, lo que supera o sobre pasa, lo que se extiende y es mejor, lo máximo, es lo que se encuentra más allá de la percepción, y de las posibilidades de lo inteligible al entendimiento humano situado siempre sobre su propio tiempo. Esta idea (lo trascendente) se opone a la de inminencia, (lo que se pertenece) el ser frágil y propio de un objeto temporal, su resistencia al cambio según su disposición espacial. En el universo externo el infinito ( ∞ ) es trascendente tanto como el cero ( 0 ), la luz, el caos y el no ser, el resto de las cosas perceptibles y solamente en nuestra percepción son cosas temporales, medibles y racionales, conmensurables, puesto que la energía no se crea ni se destruye, en cambio, únicamente se transforma, (esto ultimo de acuerdo con las leyes de la termodinámica). Las proporciones interiores de las cosas tales como π (3.14159...), Φ (1.61803... [Número Áureo]) y e (2.718281...[Número de Euler]), también son irracionales e inconmensurables, pero no solo ni únicamente. Por esto, las cosas que conocemos, aquellas con las que nos relacionamos e incluso las que somos se hallan al medio y únicamente como un fragmento de las cosas inconmensurables e irracionales, pues lo inmanente es apenas una parte de lo trascendente, tal como se explica en otra famosa teoría física, la del caos. ··· Ahora bien, multiplicar es ya por sí una operación cuadrática, por ello no falla que 1 x 1 = 1, lo que en un sentido muy estricto se debe leer, un lado 1 por, un lado 1, es igual a un cuadro 1, y lo mismo con 2 x 1. Multiplicar no significa sumar de manera lineal y arbitraria, significa someter la razón al cuadro para deducir sus propiedades de igualdad. Multiplicar es agregar iguales objetos a objetos iguales para obtener iguales resultados, un cuadro menor más tres cuadros iguales en correcta situación contigua ocasionan un cuadro mayor. Por esto en 2 x 2 = 4 se entiende que dos lados consecutivos de dos cuadros menores continuos en una misma dirección por dos iguales en dirección perpendicular a los primeros dan como resultado un cuadro de 4 partes iguales. Y como el inverso de la multiplicación cuadrática es una división de la misma clase, dividir significa encontrar menores partes iguales dentro de uno (un cuadrado) igual pero mayor. Si tomamos un cuadro como el antes descrito (de lado 1 y por ende de perímetro 4) para dividirle en cuatro partes iguales nos serviríamos de dos líneas perpendiculares, una horizontal y la otra vertical. Si las horizontales y verticales fueran paralelas de iguales distancias tendríamos un cuadro de 3 x 3, es decir de 9 divisiones internas iguales. Y si fueran paralelas triples 4 x 4 equivaldría a 16 partes internas iguales. Este ritmo se puede seguir al infinito, 5 x 5 = 25, 7 x 7 = 49, etc. A estos resultados se les conoce como cuadrados perfectos por manifiestas razones. Si una vez obtenidos estos cuadrados quisiéramos deshacerlos mediante sus divisiones, 49/7, 25/5, 16/4, 9/3, 4/2 hallaríamos con ello sus raíces cuadradas. De manera que la raíz cuadrada de 49 es 7, la de 25, 5, la de 16, 4, etc. Con ello entonces nos queda que lo contrario de elevar al cuadrado es encontrar la raíz cuadrada. ··· De lo anterior se sigue que, encontrar el cuadrado de un número no es otra cosa que multiplicarlo por sí mismo, elevarlo, y es muy fácil encontrar la raíz de cualquiera que haya sido calculado como resultado con este método anteriormente. Por ello, si multiplicar es sumar de manera cuadrada y dividir restar cuadráticamente, elevar al cuadrado es multiplicar cuadros y encontrar raíces, dividir cuadrados. Con ello entonces nos queda que, solo existen dos tipos de operaciones, sumas y restas, estás pueden ser sofisticadas como la multiplicación y la división o complejas como los cuadrados y las raíces. ··· Sumar y restar nos parece sencillo porque comúnmente solemos hacerlo con unidades individuales, es decir, con enteros, y todo número entero sumado o restado a otro entero dará como resultado un número entero, ya sea negativo ya positivo. Por otra parte, cuando multiplicamos no estamos sumando enteros, cuando multiplicamos entramos al mundo de las formas, las multiplicaciones son geométricas, y en ellas sumamos lados para obtener formas mayores. De otro modo uno por uno ( 1 * 1 ) sería falso que uno ( 1 ), puesto que si multiplicar únicamente consistiera en sumar de manera abreviada entonces tendría que resultar dos ( 2 ) de cualquier modo en uno por uno (1 * 1 ) y dos por uno ( 2 * 1 ) serían tres ( 3 ). La razón por la que es importante entender esto es la siguiente: No usamos tablas para sumar o restar, porque nos parece tan fácil y tan obvio que nos resultaría ridículo tener que servirnos de ellas, pero si las miráramos como objetos simples advertiríamos cuan poco se parecen a las de multiplicar y dividir. Por el contrario: Y he aquí el verdadero cambio, notese la secuencia de los resultados. Hacer tablas inversas representa un reto, puesto que contando cosas no es fácil entender que es él -1 (menos 1) o el -2 (menos 2) o -3 (menos 3), esto para un griego de aquel entonces, como para un niño de hoy, no tiene mucho sentido pues, el fin de contar puede parecer a primera vista enumerar objetos o cosas, quiero decir, objetos y cosas que hay. Por ello para no meterse en problemas numéricos las tablas de operaciones inversas se hacen con resultados, como deducciones aplicadas a inducciones antes hechas. Como nos explica la lógica de Boole y es así que introducimos formalmente la lógica en nuestro discurso, afirmando que, si bien toda matemática es lógica, no toda la lógica es matemática, no al menos, de la manera que en el mundo vulgar contemporáneo se entiende lo que es lógico y es preciso hacer esta distinción. Pues si bien se tiene a Aristóteles por ser o parecer el primer lógico, esto no puede ser menos que un error histórico. No quiero divagar en ello, pues mi objetivo es alcanzar las proporciones lo antes posible, pero me parece justo observar que si el hombre piensa, y pensar es usar la lógica, decir que Aristóteles es el primer lógico equivaldría a decir que es el primer hombre que piensa, lo cual es absurdo. Por supuesto que hay lógica antes de que Aristóteles la describa, norme o intente sistematizar y por supuesto que otros la entendieron, pero no la llamaron así, para algunos es simple razón, para otros inteligencia. Para Sócrates y Platón es claro que la lógica no es sino una especie de geometría que está más allá de las relaciones matemáticas simples y las gobierna, y es una geometría sublime, no de números ni de palabras o conceptos. Una geometría que de ningún modo se haya confinada al hombre puesto que está, da forma al hombre y al cosmos, pues es, en efecto, una geometría universal. De manera que, si bien para nosotros, como se dijo anteriormente, la matemática es lógica, para un griego pre-aristotélico, la matemática es necesariamente y antes que todo geométrica. Y con esto hay que educar a nuestro pensamiento para hacerle entender qué Aristóteles, el Alumno de Platón no es el mismo Aristóteles del paradigma aristotélico que sigue a los griegos con los romanos y que dio lugar al pensamiento de la edad media, o por lo menos no demuestra las mismas cualidades que le atribuyen en lo que el mismo dice ni en como lo dice. ··· Por lo anterior, si tuviéramos la siguiente tabla: Los resultados así dados no podrían encontrar significado con el esquema antes descrito aun cuando claramente también son inducciones Por ello para darles claridad a operaciones de este tipo se suelen presentar siempre como deducciones. Esto sería mas claro para aun griego del tiempo de Socrates, y ademas tendría completo sentido si tomamos en cuenta que no contaban con el cero ( 0 ). Pero no debe pasarse por alto que los resultados son como en la de sumar, consecutivos, pero los números que preceden al resultado ya no lo son. Lo que es más, hay algunas que se han evitado, como el 1 en la del 3 y el 1 y 2 en la del 4 con el único fin de establecer un orden más limpio y menos confuso. Por ello para evitar el desfase y sensación de que algo está mal en la mente de los aprendices es más común usar las inversas, tomando el resultado como principio, igual que en estas divisiones. Sin embargo, hay algo que se oculta a simple vista cuando se procede de este modo y es que existen operaciones imposibles. Tomemos el 2 por ejemplo, ¿Qué da de dividir 2/3, o que de 2/5? En 3, ¿Qué resulta de 3/7 o de 7/3? ¿Y si fuéramos realmente pitagóricos y nos interesara verdaderamente la justicia socrática y lo justo fuera que a hombres iguales les toquen partes iguales? ¿Dividiríamos con justicia hasta el infinito 3 panes para alimentar 7 hombres, sin saber siquiera con seguridad que alguna vez tendremos las cantidades justas para repartir? Es obvio que este problema puede parecer torpe cuando se trata de hombres y panes, pero ¿Que hay de la arquitectura, que de la guerra o qué de la economía y la política o la mecánica? Pues bien, este mismo dilema se lo encuentra uno haciendo las sencillas raíces cuadradas, y Platón atestigua que Teodoro como Teeteto debatieron con él y se sumergieron en tratar su resolución. … Se asegura en el diálogo de Platón que Teodoro demostró que había raíces imposibles a la razón*2 y la historia les retiene en la espiral que conserva su nombre. Pero para entender la irrefutabilidad de su prueba debemos volver al seno de la filosofía, la geometría. Toda diagonal de un cuadrado es la hipotenusa compartida de dos triángulos gemelos en su interior. Y de a cuerdo con el teorema de Pitágoras: a2+b2=c2 Donde “c” representa la hipotenusa y “a” y “b” cada uno de los lados (catetos). Luego, encontrar la magnitud de la hipotenusa de uno de los triángulos del cuadrado es equivalente a resolver la medida de su diagonal. Por tanto, si cada lado mide 1, y elevar al cuadrado 1, es 1x1=1 en razón de que a2+b2=c2, lo que sigue entonces es saber cuál es la raíz de 2, pero el problema radica en que no hay ningún número que multiplicado por sí mismo resulte 2, lo que lo hace inconmensurable. No olvidemos que para un griego en ese entonces, medir un segmento de recta significa que existe una unidad tal, que multiplicada un número entero de veces debe resultar la longitud total. De este mismo modo se afirma que los pitagóricos encontraron magnitudes que no podían ser expresadas como iguales elementos entre números enteros, y su prueba es la hipotenusa y uno de sus catetos en el triángulo rectángulo. Platón habla de estos resultados, dode Teodoro de Cirene demuestra que las raíces cuadradas de 3, 5, 7, etc. son irracionales. Estas razones inconmensurables también son una observación atribuida a Hipaso de Metaponto e, irónicamente, además de una verdad auténtica se cuenta que tambien le descubrió la muerte. Vitruvio atribuye la idea a Platón en sus libros de arquitectura, pero Aristóteles señala que los pitagóricos suministraron la prueba de que la raíz cuadrada de dos es inconmensurable por reducción al absurdo y con ello que lo inconmensurable es verdadero, él mismo en su Analytica Priora (§I.23)*3 después conocida como silogístico y posteriormente anexado al órganon le incluye. Ahora bien lo que realmente hace tracendnete a esta idea es que la misma relación que guarda un diámetro con su circulo la tiene la diagonal con su cuadrado, ambas son proporciones, y del mismo modo que el circulo debe su medida a su linea central interna, el cuadrado debe su perímetro a su diagonal y no al contrario. De echo si buscamos alguna diferencia entre la linea que hace una diagonal y la linea que hace un diámetro no encontraremos ninguna, esta fina y simple forma tiene por tanto el poder, por proporción, de crear figuras como los triángulos, los cuadrados y los círculos mediante sus formulas, y de esta forma devienen todas la otras formas, lineas, figuras y cuerpos. Con ello, si un cuadrado es uno realmente, es decir, que tiene sus lados iguales, entonces la diagonal para todos mide lo mismo, 1.41421356237∞ y esta razón también es eterna e inmutable, existe por sí, más allá de todo tiempo y espacio es, en difinitiva, una idea trascendental. *1 143 P. 176. Platón. (s. f.-b). Dialogos. Teeteto: Vol. V (N. L. Cordero, Ed.; 4a Reimpresión 2002 ed.). Gredos. *2 147d-148b P. 184. Platón. (s. f.-b). Dialogos. Teeteto: Vol. V (N. L. Cordero, Ed.; 4a Reimpresión 2002 ed.). Gredos. *3 Raíz cuadrada de 2. (0000). wikioes.icu. https://wikioes.icu/wiki/Square_root_of_2#cite_note-17 | Análisis previo. (0000). wikioes.icu. https://wikioes.icu/wiki/Prior_Analytics
Geometría Universal | IV · Trascendencia de La idea content media
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05 ago 2022
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Pantocrátor, Biblia de san Luis, Catedral de Toledo En la alegoría de la línea (509d - 511e) o bien, en la de la caverna (514a - 519d) en “La República” se pone en práctica la “dianoia”, nombre de la capacidad para obtener conocimiento como consecuencia de advertir relaciones causales entre elementos visuales. Y puesto que de la comparación de hipótesis se deducen intrínsecas conclusiones, la dialéctica es el conocimiento que de la dianoia se vuelve general, el de las proporciones, y las formulas. El orden. La dialéctica es diferente y superior al corriente conocimiento contable, no es el vulgar sumar y restar del sangriento carnicero, el multiplicar del avaro banquero, el dividir del necio mercante, la dialéctica no consiste en lo mismo que las “cuentas” prácticas ni las vulgares operaciones del empresario, ni las del economista y tampoco las del magnate, para estos están reservadas necesarias imágenes farsantes, objetos, dibujos, gráficas y comparaciones engañosas ni poco semejantes a las proporciones eternas. Por su parte, la comprensión dialéctica distingue por sí, y gracias a ella el alma griega capta la esencia (diferencia) de modo intuitivo y es la razón, por la cual podemos comprender los eslabones geométrico-matemáticos que son propiamente dialécticos, dinámicos y con valores constantes que jamás caducan en la mente ni se confunden en el tiempo. El objeto de todas las ciencias. La dianoia, conocimiento conclusivo o sentido común, no habla de qué, en esencia, sea el punto o la línea, no sabe qué es el número ni se pregunta por él, solo puede, apenas, advertir sus relaciones. Hay, sin embargo, un compelido laso trabado entre ambos modos de la observación mental; sus direcciones diametrales se apuntan, se siguen y se unen, pero contrarios e independientes son ambos fines (tomando su centro como principio de sus sentidos) y apuntan hacia direcciones opuestas. Dianoia____________|___________Dialéctica La misma distancia abismal y distinción de poder que guardan aritmética y álgebra hay entre dianoia y dialéctica. 1 + 2 = 3 (Aritmética) | (Álgebra) a + b = c Esto explica por qué los conocimientos más básicos también sirven al completo conocimiento matemático, pues estos toman del suelo (comercio y agrimensura previa a los griegos) lo que luego se transformará en comprensión de los cielos y su naturaleza toda. La aritmética por su naturaleza se halla determinada y confinada a los valores numéricos, el álgebra es, de un modo, indeterminada, puesto que cada uno de sus miembros puede adoptar una infinitud de valores, lo que hace que todas las operaciones aritméticas del mismo tipo quepan en una simple del álgebra, pues esta es su lógica. Esto invierte su valor matemático, pues lo que antes parecía básico ahora es consecuente, ya que basta entender una sola de estas (a∞ + b∞ = c∞) para desarrollar todas aquellas (nx + nx = x mayor) donde "n" significa número y "x" valor indeterminado. Por tanto, el fundamento de una idea aritmética se encuentra en una forma algebraica que le describe a ella y a todas las de su especie, antecediéndolas como causa de su existencia. Con ello podemos afirmar que el álgebra es la estructura fundamental de la aritmética, de la misma manera en que la dialéctica lo es de la dianoia. Esta tensión entre la percepción (física, geometría, mente) y la distinción de patrones cíclicos (formas ideales elementales) que distinguimos de manera básica y necesaria para ubicarnos en el mundo hacen a Platón decir: El camino a través de todos estos estudios (técnicos y prácticos) que hemos descrito permite arribar a una relación y parentesco de unos con otros, y a demostrar la afinidad que hay entre ellos [...] ¿O no sabes que todo esto no es más que un preludio a la melodía que se debe aprender? ¿O acaso crees que los versados en aquellos estudios (aritméticos)son dialécticos (realmente? (531d-e).*1 Tanto los cálculos como la geometría y todos los estudios preliminares [...] deben enseñarse antes que la dialéctica… (536d).*2 (Puesto que ) el poder dialéctico solo se revelará a aquel que sea experto en estos estudios (lógicos puros) que hemos descrito y [...] cualquier otro es (y será) incapaz… (533a).*3 Se conciben entonces, las matemáticas teóricas y puras, lógicas, como la herramienta máxima del hombre para liberar su mundo de la dura cárcel mental percibida por los bestiales sentidos, fría, sólida y predefinida, agregando a ella belleza a través de sus propios principios generales, pues también en nuestra comprensión la dialéctica Platónica resguarda los orígenes de lo general y lo particular, de lo interior y lo externo, del individuo y el universo, del cosmos en su completitud. *1,*2,*3 531-536 P. 362-370. Platón. (s. f.-a). Diálogos. República: Vol. IV (Conrado Eggers Lan, Ed.; 4.a Reimpresión 2003 ed.). Biblioteca clásica Gredos.
Geometría Universal | III · Estructura de la idea content media
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